Les cotes

Le calcul des cotes au Texas Hold'em


Les cotes sont indispensables au joueur de poker. Ce sont des outils qui lui indiquent s'il est valable ou non de prendre un risque précis.


Qu'est-ce qu'une cote ?

Dans les courses de chevaux, les cotes indiquent ce qu'un cheval va rapporter. Si vous misez dix euros sur un cheval dont la cote est de 20 contre 1, s'il arrive gagnant, vous allez toucher 200 euros (le chiffre réel est inférieur car l'organisateur prélève sa commission, mais le principe est là). Plus la cote est haute et plus le cheval rapporte quand il gagne.


Cote positive et cote négative

La cote positive. Si vous savez de source sûre que le cheval que vous avez choisi a une chance de gagner supérieure à ce qu'indique sa cote, il faut le jouer. Si vous ne jouez que des chevaux qui répondent à ce critère, vous allez forcément recueillir plus d'argent que vous en avez misé à la longue. Et vous serez gagnant chronique.

La cote négative. En revanche, si vous savez de source sûre que le cheval que vous avez choisi a une chance de gagner inférieure à ce qu'indique sa cote, il ne faut pas le jouer. Si vous ne jouez que des chevaux qui répondent à ce critère, vous allez forcément recueillir moins d'argent que vous en avez misé à la longue. Et vous serez perdant chronique.

Au poker, jouer une cote positive, c'est jouer un risque sur-rémunéré par rapport au gain potentiel.

Inversement, jouer une cote négative, c'est jouer un risque sous-rémunéré par rapport au gain potentiel.


Comment s'exprime une cote

Une cote est une autre manière d'exprimer une probabilité. Si un sac contient dix boules numérotées de 1 à 10 et si vous tirez une boule au hasard, la probabilité de tirer la boule n°1 est de 1/10.

• Il y a 10 cas possibles : 1, 2, . , 9, 10. = CP
  
• Il y a 1 cas favorable : 1. = CF
  
• Il y a 9 cas défavorables : 2, 3, . , 9, 10. = CD
  

Dans tous les cas, on a CP = CF + CD
(les cas possibles sont la somme des cas favorable et des cas défavorables ; c'est ce qu'on appelle une partition)

On appelle « expérience » le fait de « Tirer une boule au hasard ».

On appelle « événement » le fait de « Tirer la boule n°1 ». Admettons qu'on le note E=1.

On admet que les dix événements possibles « Tirer la boule n°x »
(avec x=1, x=2, ., x=9, x=10) ont tous la même probabilité de se produire. Ils sont dits « équiprobables ».

La probabilité P(E=x) est égale à la part que prennent les cas favorables parmi les cas possibles. C'est donc un quotient :
P(E=1) = CF/CP = 1/10 = 0,1 = 10%


Pour passer de la probabilité à la cote :

La probabilité met en rapport les cas favorables et les cas possibles. La cote, elle, exprime le même chiffre mais en mettant en rapport les cas défavorables et les cas favorables.
Dans notre exemple, la cote est de 9 contre 1 car CD = 9 et CF = 1. Dans le cas général, la cote s'écrit comme ceci :

Cote = « CD contre CF »

On parle d'une « cote contre » car on met en valeur la probabilité que l'événement choisi ne se produise pas. On peut aussi parler d'une « cote pour » : on dirait alors « 1 pour 9 », mais cette cote est moins utilisée.


D'une manière générale, il faut faire en sorte que le chiffre à droite du mot « contre » soit 1. Donc quand on a « 8 contre 2 », il suffit de diviser par 2 de part et d'autre du mot « contre » pour obtenir « 4 contre 1 ».
Prenons maintenant d'autres exemples :

• « Tirer une boule impaire » : 5 contre 5, donc 1 contre 1
  
• « Tirer une boule supérieure à 5 » : 5 contre 5, donc 1 contre 1
  
• « Tirer une boule supérieure à 8 » 8 contre 2, donc 4 contre 1
  

Voici le tableau de correspondance entre les principales valeurs de probabilité et les cotes :

Quotient (CF/CP)	Probabilité	Cote (CD contre CF)
1/2	50,00%	1 contre 1
1/3	33,33%*	2 contre 1
1/4	25,00%	3 contre 1
1/5	20,00%	4 contre 1
1/6	16,67%*	5 contre 1
1/7	14,29%*	6 contre 1
1/8	12,50%	7 contre 1
1/9	11,11%	8 contre 1
1/10	10,00%	9 contre 1
1/15	6,67%	14 contre 1
1/20	5,00%	19 contre 1
1/50	2,00%	49 contre 1
1/100	1,00%	99 contre 1

Il est évidemment hors de question de connaître par cour ce tableau parce que cela n'a aucun intérêt. Il suffit d'avoir compris le principe.

Pourquoi utiliser des cotes au lieu des probabilités ? Vous allez le voir ci-après : grâce aux cotes, on évalue plus facilement notre rentabilité par rapport au pot. Cette rentabilité provient de la comparaison entre deux types de cotes :

• la cote d'amélioration
  
• la cote du pot, ou cote financière
  

Les cotes d'amélioration

La cote d'amélioration se déduit des cartes que vous possédez et des cartes du tableau. La plupart du temps, la cote d'amélioration se calcule au flop.


Prenons l'exemple du tirage à quinte :

Flop

Main

Comme nous connaissons déjà 5 cartes sur les 52 du départ, il
reste 47 cartes possibles. Voyons comment elles se répartissent à la
turn :

52 cartes en tout
5 cartes connues	47 cartes inconnues
Les 2 cartes privatives et les 5 cartes du flop	8 cartes nous donnent la quinte : les quatre Valets et les quatre Six	39 cartes ne nous donnent rien de mieux

D'après ce tableau synoptique, notre cote d'amélioration de la
quinte est de 39 contre 8, soit 4,9 contre 1, que nous arrondissons à 5
contre 1.


cote d'amélioration = 5 contre 1


La cote du pot

Reprenons l'exemple en cours. Admettons que nous nous trouvions sur un coup qui a ces caractéristiques :

• blind/surblind : 100/200
  
• notre place : bouton
  
• deux joueurs ont payé avant nous
  
• nous payons avec 8-7
  
• le blind paie et le surblind checke
  
• il y a donc 5 joueurs dans le coup
  
• le pot à la fin du tour d'enchères préflop : 1.000
  

Le pot contient 1.000 quand arrive le flop-exemple. Prenons maintenant deux cas d'enchères différents au flop :

Cas d'enchères 1 :
Le blindeur ouvre à 500, les trois autres joueurs passent. Le pot contient donc 1.500. Je dois alors me dire ceci :
« Je dois miser 500 pour espérer gagner 1.500 »
La cote du pot est donc : 1.500 contre 500, soit 3 contre 1.

Cas d'enchères 2 :
Le blindeur ouvre à 500, les trois autres joueurs suivent. Le pot contient donc 3.000. Je dois alors me dire ceci :
« Je dois miser 500 pour espérer gagner 3.000 »
La cote du pot est donc : 3.000 contre 500, soit 6 contre 1.


Les cotes explicites

Nous pouvons résumer la situation de cette manière :

	Cote d'amélioration	Cote du pot
Cas d'enchères 1	5 contre 1	3 contre 1
Cas d'enchères 2	5 contre 1	6 contre 1

Cas d'enchères 1 : Cote du pot < cote d'amélioration


Comptablement, voici comment les choses se présentent. Comme
nous allons toucher notre quinte une fois sur six, voyons ce qui se
passe sur six tentatives :

• dans une tentative, je gagne 1.500 ; gain total : 1.500
  
• dans cinq tentatives, je perds 500 ; perte totale : 2.500
  
• donc situation comptable : +1500 - 2.500 = -1.000
  

Autrement dit, si je tente systématiquement la quinte dans cette situation, je vais perdre de l'argent sur le long terme. Attention : sur ce coup précis, je vais peut-être quand même toucher ma quinte, mais au vu des possibilités, cette décision n'est pas rentable donc je dois choisir l'autre, à savoir jeter mes cartes. C'est le sens de l'expression « risque sous-rémunéré ».

Cas d'enchères 1 : Cote du pot > cote d'amélioration

Comptablement, voici comment les choses se présentent. Comme nous allons toucher notre quinte une fois sur six, voyons ce qui se passe sur six tentatives :

• dans une tentative, je gagne 3.000 ; gain total : 3.000
  
• dans cinq tentatives, je perds 500 ; perte totale : 2.500
  
• donc situation comptable : +3.000 - 2.500 = +500
  

Autrement dit, si je tente systématiquement la quinte dans cette situation, je vais gagner de l'argent sur le long terme. Attention : sur ce coup précis, je vais peut-être ne pas toucher ma quinte, mais au vu des possibilités, cette décision est rentable donc je dois la choisir, à savoir payer les 500.
C'est le sens de l'expression « risque sur-rémunéré ».

Attention : dans les deux cas d'enchères, la probabilité de faire quinte à la turn est exactement la même, mais :

• dans le cas 1, elle est assortie d'un gain faible
  
• dans le cas 2, elle est assortie d'un gain élevé.
  

Ces résultats répondent à deux hypothèses :

• il s'agit du gain réalisé à la turn seule ; si l'adversaire se maintient à la river bien qu'on ait touché notre quinte gagnante, notre gain est grossi des enchères de la river
  
• la quinte nous rend gagnant du coup, ce qui sera le cas la plupart du temps, mais pas toujours.
  

Lexique
Dans notre vocabulaire, nous disons que :

• le cas d'enchères 1 dégage une cote financière négative, ou représente un risque sous-rémunéré
  
• le cas d'enchères 2 dégage une cote financière positive, ou représente un risque sur-rémunéré
  

Et à la river ?

Nous venons de voir le cas d'amélioration à la turn seule. Mais il nous reste deux cas à examiner :

L'amélioration à la river seule

C'est simple : cette amélioration est la même, à très peu de chose près, que l'amélioration à la turn. En effet : à la turn, la probabilité de toucher la quinte est de 8/47, et la probabilité à la river est de 8/46, si la quinte n'a pas été réalisée à la turn (si elle l'a été, la question de l'amélioration ne se pose évidemment plus !).

L'amélioration à la turn + river

Cette fois, si vous envisagez dès le flop de tirer la turn ET la river, il suffit de multiplier les probabilités par deux et vous obtiendrez une valeur approchée de votre cote réelle. Attention : ce n'est pas la façon de faire dans le monde des probabilités, mais ici nous pouvons le faire car le nombre d'événements possibles est relativement grand (47) et l'expérience est répétée seulement deux fois.


Quel est l'impact sur la cote ? Dans notre exemple, nous avons une cote sur la turn de 5 contre 1, soit une chance sur 6. Pour trouver la valeur approchée de la cote sur deux cartes, procédez en deux temps :

• divisez par deux ce chiffre, soit une chance sur 3
  
• convertissez-le en cote, soit 2 contre 1
  

La cote sur la turn et la river est surtout utile dans deux cas :

• en Texas hold'em à limites fixes, car l'ampleur des relances est connue d'avance
  
• si vous êtes all-in, car vous êtes certain alors de voir les deux dernières cartes du tableau.
  

Ne vous bercez pas d'illusions !

En Texas hold'em no limit, ne calculez jamais vos cotes au flop en considérant que vous allez voir la turn ET la river. En effet, un adversaire peut « casser votre cote » par une forte relance et vous dissuader ainsi de voir la river après la turn. Conclusion : en no-limit, au flop, ne considérez que la cote sur une carte de plus, la turn.

Nombre de cartes améliorantes

Le « nombre d'outs » est le nombre de cartes qui améliorent votre main. Voici le tableau des probabilités de toucher selon le nombre d'outs :

Amélioration après le flop	Probabilité	Probabilité turn OU river
21 outs	70%	45%
20 outs	68%	43%
19 outs	65%	40%
18 outs	62%	38%
17 outs	60%	36%
16 outs	57%	34%
15 outs	54%	32%
14 outs	51%	30%
13 outs	48%	28%
12 outs	45%	26%
11 outs	42%	24%
10 outs	38%	22%
9 outs	35%	20%
8 outs	32%	17%
7 outs	28%	15%
6 outs	24%	13%
5 outs	20%	11%
4 outs	17%	9%
3 outs	13%	7%
2 outs	8%	4%
1 out	4%	2%

Exemple : vous partez avec 10-9 et le flop est J-8-4.
Vous avez donc un tirage à quinte. Vous touchez la quinte si la turn ou la river est un 7 ou une Dame. Comme il y a quatre Septs et quatre Dames dans le jeu, vous avez en tout 8 outs. D'après le tableau, votre probabilité de finir avec quinte est de :

• 32% si vous touchez la turn et la river
  
• 17% si vous touchez la turn seule, ou la river seule.
  

Pour simplifier les calculs :

• multipliez le nombre d'outs par 2 pour obtenir le pourcentage d'amélioration à la turn
  
• multipliez le nombre d'outs par 4 pour obtenir le pourcentage
  d'amélioration sur turn + river (et réduisez légèrement la probabilité
  obtenue pour avoir la probabilité réelle)
  

à partir de 14 outs et plus, vous avez plus d'une chance sur deux de réussir votre combinaison sur la turn ET la river

Améliorations au flop

Quinte ventrale	Outs	Cartes	Deck	proba%	cote	cela arrivera
	4	Turn	47	9	11 contre 1	1 fois sur 12
		River	46	9	11 contre 1	1 fois sur 12
	cumulé	Turn + River		17	5 contre 1	1 fois sur 6
Quinte par les 2 bouts	Outs	Cartes	Deck	%	cote	cela arrivera
	8	Turn	47	17	5 contre 1	1 fois sur 6
		River	46	17	5 contre 1	1 fois sur 6
	cumulé	Turn + River		34	2 contre 1	1 fois sur 3
2 Overcards	Outs	Cartes	Deck	%	cote	cela arrivera
	6	Turn	47	13	7 contre 1	1 fois sur 8
		River	46	13	7 contre 1	1 fois sur 8
	cumulé	Turn + River		26	3 contre 1	1 fois sur 4
1 Overcard	Outs	Cartes	Deck	%	cote	cela arrivera
	3	Turn	47	6	15 contre 1	1 fois sur 16
		River	46	7	14 contre 1	1 fois sur 15
	cumulé	Turn + River		13	7 contre 1	1 fois sur 8
Couleur	Outs	Cartes	Deck	%	cote	cela arrivera
	9	Turn	47	19	4 contre 1	1 fois sur 5
		River	46	20	4 contre 1	1 fois sur 5
	cumulé	Turn + River		39	2 contre 1	1 fois sur 3
Brelan	Outs	Cartes	Deck	%	cote	cela arrivera
	2	Turn	47	4	23 contre 1	1 fois sur 24
		River	46	4	22 contre 1	1 fois sur 23
	cumulé	Turn + River		9	11 contre 1	1 fois sur 12

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Dr poker : Dénombrement des cartes améliorantes et des Outs effectifs

Gagner au poker est un long chemin mais qui commence par la maitrise des probabilités d’amélioration donc le dénombrement des OUTS c'est-à-dire des cartes qui améliorent votre main en fonction des 3 cartes du flop et des deux cartes de la turn et de la river ? C’est seulement à partir du dénombrement des OUTS vous pourrez calculer la probabilité de toucher la ou les cartes gagnantes à la turn ou à la river et maîtriser ainsi les calculs de cotes. Cette compétence de base est nécessaire pour jouer un poker gagnant, elle appartient aux connaissances et compétences du niveau 1 dans le cursus pédagogique de l’Ecole Française de Poker. En fonction des 2 cartes reçues et des 3 cartes du flop ou de la 4eme carte de la turn quelles sont les cartes qui me permettent d’améliorer ma main vers la combinaison supérieure ? J’ai 2 reçu cœurs , il y a 2 cœur sur le flop combien de cartes me permettent d’obtenir la couleur en sortant un cinquième cœur à la turn ou à la river ? J’ai deux overcard sur un flop composé de petites cartes. Combien de cartes peuvent me donner une paire, un brelan ? Mes deux cartes connectées feront une quinte avec combien de cartes ? Mon « double bully buster » a besoin de combien de cartes pour se transformer en quinte ? Savez-vous répondre instantanément à ces questions fondamentales ? Nous vous proposons de tester rapidement vos compétences dans le calcul des OUTS, calcul qui est la base même du jeu de Poker. Le Dr poker vous propose 20 questions simples, nous vous demandons de dénombrez vos outs. Il vous suffit juste de compter vos cartes manquantes pour améliorer votre main. De la question 11 à 20, vous devrez compter vos outs effectifs, c’est à dire, ceux qui vont réellement vous donner une chance de gagner. Veiller à ne pas tenir des comptes des cartes qui pourraient vous donner une minuscule paire ou compléter la probable/possible combinaison de votre adversaire (Blocker)…

En fonction des 2 cartes reçues dans une main de Texas Holdem
quelles sont les cartes et combien de cartes sont « disponibles » pour
améliorer votre main ?

Cette série de questions à choix multiples vous permet de vous tester.
Ce QCM du Dr Poker de niveau 1 est destiné aux joueurs débutants.




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Les cotes implicites

La notion de cote implicite recouvre plusieurs réalités quand on est joueur expérimenté. Mais pour quelqu'un qui s'initie au poker, il s'agit d'anticiper une cote explicite d'après une logique de jeu ou de personnalité adversaire.


Reprenons notre exemple de tirage à quinte au flop, en modifiant cette fois notre position :

Flop

Main

• blind/surblind : 100/200
  
• il reste les joueurs n°2, 5, 7, 8, 10
  
• nous sommes en position n°8
  
• les joueurs n°2, 5 et 7 ont payé avant nous
  
• il reste encore un joueur après nous
  

Nous savons que, pour voir la turn, nous devons avoir au moins 4 adversaires (comme le tableau nous l'indique). Or ici nous n'en avons que trois : les n°2, 5 et 7. C'est insuffisant.


Mais comme il reste encore deux joueurs à parler, il suffit qu'il paie pour nous donner la cote que nous recherchons. Si nous croyons que ce sera le cas, nous possédons une cote implicite et nous avons intérêt à suivre, bien que n'ayant pas de cote explicite au moment où nous payons.

Evidemment, si le joueur qui nous succède relance, nous devrons passer car il a cassé notre cote et nous n'avons plus d'intérêt à nous maintenir dans le coup.


La reconstitution de cote


Admettons maintenant qu'il se passe ceci :

• le joueur n°10, au lieu de suivre comme nous l'espérions, relance au double
  
• les joueurs n°2, 5 et 7 paient la relance
  

Le joueur 10, quand il relance, casse notre cote. Mais le fait que les trois joueurs suivants paient la relance reconstitue notre cote.
Comme nous sommes dernier à parler, nous savons qu'il n'y aura pas de
relanceur. Si nous suivons ici, nous aurons bien les quatre adversaires requis. Donc nous possédons bien notre cote et nous devons payer.



Les cotes inversées : comme casser une cote



Quand le flop comporte un voire deux tirages possibles, et quand les enchères préflop ont été faibles, il est probable qu'au moins un des joueurs en lice possède un tirage.


Ne donnez pas de carte gratuite à l'adversaire.
Attaquez (en ouvrant ou en relançant fortement) de façon à faire passer le tireur sous sa cote et à l'obliger ainsi à jeter ses cartes. Cela ne fonctionnera pas contre des débutants qui ignorent ce qu'est une cote.


Mais contre un joueur expérimenté que vous avez « calibré » comme jouant avec les cotes, cette tactique d'agression permet de prendre le pot sans abattage, donc quelle que soit votre main à ce moment.




Faites payer les tireurs présumés


Qu'un joueur à tirage touche sa turn ne diminue en rien sa capacité de vous battre. Mais quand vous soupçonnez qu'un tel joueur existe, faites-lui payer son tirage le plus cher possible, donc ouvrez ou relancez.




Compléter la cote



Votre cote peut s'avérer insuffisante à un moment, mais le type de vos adversaires est tel que vous savez une chose : si vous relancez à cet instant, il est probable qu'ils passent tous.


Reprenons le cas précédent du tirage à quinte à la turn.

Flop + turn

Main

• blind/surblind : 100/200
  
• il reste les joueurs n°5, 7, 8
  
• nous sommes en position n°8
  
• le joueurs n°5 a ouvert
  
• le joueur n°7 a payé
  

N'ayant que deux adversaires, nous sommes « hors-cote » et nous ne pouvons donc pas poursuivre le coup en payant simplement l'ouverture.


Mais en la relançant ?


Cette possibilité peut sembler farfelue a priori. Pourtant elle ne l'est pas, simplement parce qu'elle vient compléter la cote pour la rendre jouable. En effet, vous allez gagner maintenant dans deux cas au lieu d'un seul :

• non seulement si vous complétez votre tirage
  
• mais aussi si vos adversaires passent devant votre relance
  

Prouvons mathématiquement que cette tactique est gagnante :

• le pot contient 700 préflop, et tous les joueurs ont checké au flop
  
• l'ouverture à la turn est de 500
  
• donc le pot contient 1.700 au moment de prendre votre décision
  
• admettons que vous gagnez le coup si votre quinte rentre, et que vous le perdez sinon
  
• vous estimez que si vous relancez à 1.400, les deux joueurs
  vont passer une fois sur quatre ensemble (dans 75% des cas) et payer
  dans 25% des cas (abattage)
  
• à la river, si vous ne touchez pas votre quinte, vous ne payez
  rien au pot, mai si vous la touchez, vous ouvrez à 1.500 et un seul
  joueur paie
  
• rappelons que la probabilité de faire quinte à la river est de 8/46 = 17%
  

Votre résultat financier est alors le suivant :


- votre gain immédiat si personne ne suit : 1.700


- votre gain si les adversaires suivent et votre quinte entre :
(0,17) probabilité de cet événement
x (1.700 pot préflop et flop
+ 1.400 + 1.400 + 1.400 enchères turn
+ 1.500 + 1.500) ouverture + payeur
= (0,17) x (8.900) = 1.513


- votre perte si les adversaires suivent et votre quinte n'entre pas :
(0,83) probabilité de cet événement
x (200 votre mise préflop et flop
+ 1.400) votre ouverture à la turn
= (0,83) x (1.600) = 1.328


Finalement, votre résultat quand vos adversaires paient votre relance est de :
1.513 - 1.328 = + 185


Votre résultat final s'exprime donc ainsi, sachant que dans 75%
des cas vous gagnez tout de suite et que dans 25% des cas vous êtes payé
:
(0,75) x 1.700 + (0,25) x (185)
= 1.275 + 46 = 1.321


En moyenne, cette action de relancer va vous rapporter 1.321,
donc dégager une résultat largement positif. Si vous vous étiez cantonné
à jeter vos cartes du fait de votre situation hors-cote, vous auriez
certes sécurisé votre situation, mais vous seriez passé à côté d'un gain
important.


Encore une fois, ces chiffres donnent une idée du gain moyen.
Mais il va de soi que votre choix, dans cette situation isolée, aura
l'une ou l'autre de ces deux modalités :

• soit un gain de 1.700 (immédiat) ou de 8.900 (à l'abattage)
  
• soit une perte de 1.600
  

Anti-maths


Dans le monde réel, il est évidemment hors de question pour vous de procéder à de tels calculs ! Sachez simplement que, plus vos adversaires vont laisser tomber le coup du fait de votre relance, plus votre gain sera sécurisé.